समय और कार्य भाग

समय तथा कार्य के प्रश्नो को हल करने के लिए  निम्नलिखित तथ्यों को ध्यान में रखना चाहिए :
1. जब काम करने वालो की संख्या बढ़ती है तो काम करने में कम दिन लगते है।
2. जब काम करने वालो की संख्या घटती है, तो काम करने में अधिक दिन लगते है।
3. एक दिन (इकाई समय) में किया गया
काम = 1/दिनों की संख्या
4. देय मजदूरी किये गये काम की मात्रा के समानुपाती होती है।
5. यदि एक व्यक्ति किसी कार्य को X दिनों में करता है, तो उसका 1 दिन का कार्य = 1/X मात्रा
6. यदि एक व्यक्ति का एक दिन का कार्य = 1/X भाग है. तो उसे पुरे कार्य को समाप्त करने में X दिन लगेंगे।
7. यदि A की कार्य क्षमता B से दुगुनी हो, तो किसी कार्य को समाप्त करने में A, B से आधा समय लेगा।
8. यदि किसी काम में कार्यरत् व्यक्तियो की संख्या X : Y अनुपात में है, तो उनके द्वारा लिए गए समयों का अनुपात Y : X होगा।
9. यदि A और B भिन्न-भिन्न समयों में किसी काम को पूरा करते हो तो :
A का काम/B का काम = B को लगा समय/A को लगा समय

 

TRICK NO.1 : यदि A किसी कार्य को x दिनों या घंटो में करता है तथा B उसी कार्य को y दिनों या घंटो में करता है तो A तथा B मिलकर उसी कार्य को :
= (x × y) ÷ (x + y) दिनों/घंटो में पूरा होगा।

उदाहरण : A किसी काम को 6 दिनों में पूरा कर सकता है जबकि B उसे 12 दिनों में पूरा कर सकता है। दोनों मिलकर इस काम को कितने दिनों में समाप्त करेंगे?
हल :

TRICK NO.2 : यदि A किसी कार्य को x दिन में तथा A और B मिलकर y दिनों में पूरा करते है, तो B अकेले उस काम को :
= (x  × y) ÷ (x - y) दिनों में पूरा करेगा।

उदाहरण : A और B मिलकर किसी कार्य को 15 दिनों में समाप्त कर सकते है। यदि A अकेला इस कार्य को 24 दिनों में समाप्त कर सके तो B अकेला इस कार्य को कितने दिनों में समाप्त कर पाएगा?
हल :

TRICK NO.3 : यदि A, B और C अलग-अलग किसी काम को क्रमशः x, y और z दिनों में पूरा करते हो, तो उसके द्वारा एक साथ मिलकर उस काम को करने में लगा समय :

उदाहरण : यदि A, B और C किसी काम को अलग-अलग क्रमशः 4, 5 और 10 दिनों में समाप्त करते है, तो तीनों एक साथ कितने दिनों में पूरा काम समाप्त करेंगे?
हल :

TRICK NO.4 : यदि A और B किसी काम को x दिन में, B और C उसी काम को y दिन में, तथा A और C उसी काम को z दिनों में पूरा कर सकते है तो तीनों को एक साथ काम पूरा करने में लगा समय :

उदाहरण : A और B एक कार्य को 36 दिन में, B तथा C इसे 24 दिन में व C तथा A इसे 18 दिन में पूरा कर सकते है। तीनो मिलकर इस कार्य को कितने दिनों में समाप्त कर लेंगे?
हल :

TRICK NO.5 : A किसी कार्य को x दिनों में तथा B उसे y दिनों में समाप्त करता है। यदि A अकेला n दिनों तक काम करने के पश्चात् काम करना छोड़ देता है तो शेष काम को B द्वारा समाप्त करने में लगा समय :

यदि B अकेला n दिनों तक काम करने के पश्चात् काम करना छोड़ देता है, तो शेष काम को A द्वारा समाप्त करने  में लगा समय :

उदाहरण : A एक कार्य को 20 दिनों में समाप्त कर सकता है। जबकि B इसे 25 दिन में समाप्त  कर सकता है। B अकेला 10 दिन कार्य करने के बाद छोड़ दिया। A शेष कार्य को कितने दिनों में समाप्त करेगा?
हल :

TRICK NO.6 : A किसी कार्य को x दिनों में तथा B उसे y दिनों में अलग-अलग कर सकता है। n दिनों तक साथ-साथ काम करने के बाद A ने काम करना छोड़ दिया तो  B द्वारा शेष काम करने  में लगा समय :

यदि n दिनों बाद B काम करना छोड़ दे, तो शेष काम को A द्वारा पूरा करने में लगा समय :

तथा पुरे काम को समाप्त होने में लगा कुल समय :

उदाहरण : A एक कार्य को 10 दिन में तथा B ल इसी कार्य को 15 दिन में समाप्त कर सकता है। वे दोनों मिलकर कार्य आरम्भ करते है। 2 दिन बाद A कार्य करना बंद कर देता है। शेष कार्य B अकेला कितने दिनों में समाप्त कर लेगा?
हल :

TRICK NO.7 : यदि A किसी कार्य को x दिनों में और B इसी कार्य को y दिनों में कर सकता है। दोनों ने मिलकर कार्य आरम्भ किया, लेकिन कार्य समाप्त होने के n दिन पहले A ने काम करना छोड़ दिया तो पूरा काम समाप्त होने में लगा
समय :

यदि n दिन पहले B ने काम करना छोड़ दिया तो पूरा काम समाप्त होने में लगा समय :

उदाहरण : A किसी कार्य को 36 दिनों में समाप्त करता है तथा B उसी कार्य को 45 दिनों में पूरा करता है। वे दोनों एक साथ काम आरम्भ करते है, लेकिन काम समाप्त होने के 3 दिन पहले B काम करना छोड़ देता है। पूरे काम को सम्पन्न होने में कुल कितना समय लगेगा?
हल :

TRICK NO.8 : A और B किसी कार्य को x दिनों में पूरा कर सकते है। y दिनों तक साथ कार्य करने के बाद यदि B छोड़कर चला जाता है और शेष कार्य A, p दिनों में पूरा करता हो तो, A द्वारा अकेले पूरा काम करने में लगा समय :

उदाहरण : A और B मिलकर एक काम को 30 दिनों में कर सकते है। 20 दिन काम करने के बाद B काम छोड़ कर चला जाता है। शेष बचे काम को A, 30 दिनों में पूरा कर देता है। यदि A अकेले उस काम को करता तो काम पुरा होने में कितने दिनों का समय लगता?
हल :

TRICK NO.9 : यदि A किसी काम को x दिन में कर सकता ही तथा B उसी काम को y दिन में कर सकता है। A द्वारा n दिन काम करने के पश्चात् B भी A के साथ शेष काम करने के लिए मिल जाता है। दोनों मिलकर शेष काम को :

दिनों में पूरा करेंगे।

नोट : यदि B द्वारा n दिन काम करने के पश्चात् A भी B के साथ शेष काम करने के लिए मिल जाता है, तो दोनों मिलकर शेष कम को :

दिनों में पूरा करेंगे।

उदाहरण : A एक काम को 10 दिन में पुरा कर सकते है जबकि B, 15 दिन में। B अकेले कार्य करना प्रारम्भ करता है। यदि 5 दिन बाद A भी उसमें सम्मिलित हो जाता है, तो पूरा काम कितने दिन में समाप्त होगा?
हल :

TRICK NO.10 : यदि A, B और C एक साथ काम करना शुरू करे लेकिन A काम समाप्त होने के लिए n दिन पहले काम करना छोड़ दे, तो पुरे काम को समाप्त होने में लगा समय :

इसी प्रकार यह B और C के लिए प्रश्न हो तो क्रमशः x, y, z का मान बदलना होगा।

उदाहरण : A किसी काम को 10 दिनों में करता है जबकि B उसे 15 दिन में तथा C, 20 दिनों में, तीनों साथ-साथ काम शुरू करते है, लेकिन A काम समाप्त होने के दो दिन पहले काम करना छोड़ दे तो पूरा कार्य करने में लगा समय कितना होगा?
हल :

TRICK NO.11 : A किसी कार्य को X दिनों में कर सकता है। B, A  से Y% अधिक तेजी से काम करता है तो B इस कार्य को :

दिनों में पूरा कर लेगा तथा दोनों मिलकर उस कार्य को :

दिनों में पूरा करेंगे।

 

उदाहरण : A किसी कार्य को 12 दिनों में कर सकता है। B, A से 60% अधिक तेजी से काम करता है, तो B इस कार्य को कितने दिनों में कर लेगा?
हल :

TRICK NO.12 : Aआदमी किसी कार्य को x दिनों में पूरा कर सकते है। यदि B और होते तो काम y दिन पहले समाप्त हो जाता तो प्रारम्भ में व्यक्तियो की संख्या :

उदाहरण : कुछ व्यक्ति किसी कार्य को 60 दिनों में समाप्त कर सकते है। यदि 8 व्यक्ति और होते तो कार्य 10 दिन पहले समाप्त हो जाता। प्रारम्भ में कुल कितने व्यक्ति थे?
हल :

समय तथा दूरी -2

दो धावक समान दूरी को क्रमश: 15 एवं 16 किमी मीटर प्रति घण्टा की चाल से तय करते है दोनों द्वारा तय की गयी दूरी बतायें यदि एक की अपेक्षा दूसरे को 16 मिनट अधिक समय लगता हो

7. दो कार क्रमश: 45 किमी/घ0 एवं 60 किमी/घ0 की चाल से किसी गंतव्य की ओर रवाना होती है यदि दूसरी कार को पहली कार की तुलना में 5 घण्टा कम समय लगता हो तो यात्रा में तय की गयी दूरी बतायें

8. यदि कोई व्यक्ति 45 किमी / घ0 की औसत चाल से चले तो दी गई दूरी 40 मिनट में तय कर लेता है वह किस चाल से चले ताकि यात्रा 30 मिनट में पूरी हो जाये

9. यदि राह में कोई रुकावट न आये तो कोई व्यक्ति एक खास दूरी 80 किमी/घ0 कि औसत चाल से तय करता है रुकावट की स्थिति में वह उतनी ही दूरी 60 किमी/ घ0 की औसत चाल से तय करता है वह प्रति घण्टा कितने मिनट रुकता है

10. एक व्यक्ति 40 किमी /घ0 की चाल से 3 घ0 तक चलता है तथा 60 किमी/घ0 की चाल से 4.5 घण्टा चलता है इसके अंत में वह पाता है कि वह कुल दूरी का 3/5 दूरी तय कर चुका है शेष दूरी को 4 घ0 में तय करने के लिए उसकी औसत चाल क्या होनी चाहिए

11. एक आदमी एक निश्चित दूरी को स्कूटर से तय करता है यदि वह 3 किमी /घ0 तेज चला होता तो उसे 40 मिनट समय कम लगा होता यदि वह 2 किमी/घ0 धीमा चला होता तो उसे दूरी तय करने में 40 मिनट समय अधिक लगता दूरी एवं प्रारम्भिक चाल ज्ञात करें

MATH समय तथा दूरी 1

सबसे पहले प्रमुख सूत्र

• चाल = दूरी⁄समय


• X  कि0/घण्टा = X  x 5⁄18 मीटर/ सैकेण्ड


• X  मीटर/ सैकेण्ड  = X  x 18⁄5  कि0/घण्टा


• यदि किसी निकाय की गति A:B के अनुपात में बदल दें तो समान दूरी तय करने में लगा समय B:A के अनुपात में होगा


• यदि कोई निश्चित दूरी X किमी0 /घण्टा की गति से तय की जाती है पुन: वही दूरी Y किमी0/घण्टा की गति से तय की जाती है तो यात्रा के दौरान औसत चाल
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  =	2xy
  	x+y

  
  

एवम अभीष्ट दूरी

=	xy(b-a)
	y-x

1. कोई व्यक्ति घर से दफ्तर की दूरी स्कूटर से तय करता है यदि वह 30 किलो /घ0 की रफ्तार से चलता है तो दफ्तर पहुँचने 10 मि0 लेट हो जाता है यदि वह 40 किलो / घ0 की चाल से चले तो 5 मिनट पहले पहुँच जाता है घर और दफ्तर के बीच की दूरी बतायें

2. 5 किमी /घ0 की चाल चलने वला एक व्यक्ति अपने गंतव्य 5 मिनट की देरी से पहुँचता है यदि वह 6 किमी/ घ0 की चाल से चले तो समय पर पहुँचता है, घर से उसके गंतव्य की दूरी बतायें

3. कोई व्यक्तिअपने ऑफिस 60 किमी /घ0 की चाल से जाता है और 40 किमी/घ0 की चाल से वापसआ जाता है कुल मिलाकर उसे 5 घ0 लगते है तो दूरी ज्ञात करें

4. कोई मोटर गाडी 10 घण्टे में यात्रा पूरी करती है आधी दूरी 21 किमी /घ0 की दर से एवं शेष दूरी 24 किमी/ घ0 की दर से दूरी बतायें

5. अपनी सामान्य गति के ¾ चाल से एक व्यक्ति अपने ऑफिस 10 मिनट देर से पहुँचता है इस दूरी को तय करने में आमतौर पर उसे कितना समय लगता है

लाभ हानि 2

कोई दूध वाला दूध खरीदता है यदि वह इसे 5 रु. प्रतिलीटर बेचता है तो 200 रु. की हानि होती है पर यदि वह इसे 6रु. प्रतिलीटर के भाव से बेचे तो 150 रु. का मुनाफा होता है उसने कितना दूध खरीदा था

2. एक फल व्यापारी एक खास दर से आम लेकर 25% मुनाफा कमाता है यदि वह प्रत्येक आम पर 1 रु. अधिक ले तो उसे 50 %मुनाफा होता है आम का क्रय मूल्य बताये

 

3. एक व्यक्ति अपनी आय का 10 % बचाता है यदि उसकी आय 20% बढ जाये और वह 15 % बचत करने लगे तो उसकी बचत में % वृध्दि कितनी होगी

4. एक व्यक्ति 1350 रु. में दो घोडे खरीदता है वह एक घोडे को 6% की हानि सहकर बेचता है तथा दूसरे को 7.5 % लाभ लेकर प्रत्येक घोडे की कीमत क्या थी यदि पूरे कारोबार में न तो उसे लाभ होता है न ही हानि

5. किसी व्यक्ति ने एक सामान खरीद कर उसे 10 % हानि सहकर बेच दिया यदि उसने इसे 20% कम कीमत पर खरीदा होता एवं 55 रु. अधिक लेकर बेचा होता तो उसे 40 % का लाभ होता, उस वस्तु का क्रय मूल्य बतायें

6. एक वस्तु को 20% लाभ पर बेचा जाता है यदि क्रय मूल्य एवं विक्रय मूल्य दोनों 100 रु. कम होते तो 4% और अधिक लाभ होता क्रय मूल्य ज्ञात करें

7. यदि एक वस्तु के अंकित मूल्य पर 10 % की छूट दी जाती है तो दुकानदार को 20 % लाभ होता है यदि वह उसी वस्तु को 20 % छूट देता है तो उसका % लाभ बतायें

8. 10 वस्तुओं का क्रय मूल्य 9 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है % लाभ ज्ञात करें

9. सचिन ने 20 वस्तुओं के लिए जितनी रकम अदा की, उतने में 16 वस्तुएं बेचता है, उसे कितना लाभ हुआ

10. एक थोक विक्रेता खुदरा विक्रेता को 27 कलम की कीमत लेकर 30 कलम बेचता है खुदरा विक्रेता कलम को अंकित मूल्य पर बेचता है खुदरा विक्रेता द्वारा प्राप्त किया गया % लाभ ज्ञात करें

11. 66 मीटर कपडा बेचकर कोई व्यक्ति 22 मीटर की क्रय मूल्य के बराबर लाभ प्राप्त करता है % लाभ क्या होगा

12. यदि 120 वस्तुओं को बेचने से 30 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर लाभ हो तो % लाभ होगा

MATH लाभ- हानि

सदैव याद रखें लाभ एवं हानि प्रतिशत सदैव क्रय मूल्य पर निकाले जाते है 

 

लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य 

 

हानि = क्रय मूल्य – विक्रय मूल्य

1. कोई व्यक्ति 10 रु. में 11 संतरा खरीद कर 11 रु. में 10 संतरा बेचता है उसे कितना % लाभ या हानि होता है

2- कोई बच्चा 16 रु. में 9 संतरा खरीदकर 20 रु. में 11 के हिसाब से बेच देता है उसे कितने प्रतिशत हानि या लाभ होगा

 

3- कोई बईमान दुकानदार सामान को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है 1 किलोग्राम के स्थान पर 960 ग्राम बेचता है उसे कितने % लाभ होगा

4- एक दुकनदार 10% लाभ लेकर चावल बेचता है एवं जिस बटखरे का प्रयोग करता है वह 20 % कम है कुल % लाभ क्या है

5- एक विक्रेता 1 किलोग्राम के बटखरे की जगह 840 ग्राम का बटखरा प्रयोग करता है उसका वास्तविक % लाभ या हानि ज्ञात करें

1 जब वह अपनी वस्तु को क्रय मूल्य पर 4% की हानि सहकर बेचता है

2- जब वह अपनी वस्तु को 4% लाभ लेकर बेचता है

6- यदि दो बैल में से प्रत्येक को 4575 रु. में बेचा गया हो तथा एक पर 15 % लाभ तथा दूसरे पर 15 % हानि बेचा जाये तो % हानि होगी

 

7- एक दुकानदार माल खरीदने में 5% की तथा बेचने में भी 20 % की बेईमानी करता है % लाभ कितना होगा

8- एक गाय को 760 रु. में बेचने से उतना ही लाभ होता है जितना 540 में बेचने से हानि होती है तो उसका क्रय मूल्य क्या है ?

9- किसी वस्तु को 20 % हानि के बदले 15 % लाभ पर बेचने से 70 रु. अधिक मिलते है तो उस वस्तु का क्रय मूल्य होगा

10. एक वस्तु को 250 रु.में बेचने से 25% लाभ होता है तो उसे कितने रु. में बेचे कि 20 % हानि हो

11. यदि 1रु. में 30 संतरे खरीदे जायें तो 25 % मुनाफा कमाने के लिए 1 रु. में कितने संतरे बेचने होगे

12.  A ने 9000 रु. का एक घोडा B के हाथों 10% हानि सहकर बेच दिया, b उसी घोडे को 10% लाभ लेकर a को पुन: बेच देता है किसे लाभ हुआ और किसे हानि

 

औसत (Average) 2

. किसी कक्षा के 30 छात्रों की औसत आयु 14 वर्ष है, यदि एक अध्यापक की भी आयु शामिल कर ली जाये तो औसत आयु 15 वर्ष हो जाती है अध्यापक की आयु ज्ञात कीजिये

इसके लिये एक सामान्य सा सूत्र है और आप इसे बिना सूत्र के मौखिक भी निकाल सकते हैं वो बाद में जानेंगे पहले सूत्र

= नया औसत + सदस्यों की पुरानी संख्या x औसत में वृध्दि

= 15 + 30 x 1
= 45

2. चार व्यक्तियों का औसत वज़न 3 किलोग्राम बढ जाता है यदि 120 किलोग्राम वज़न वाले व्यक्ति के स्थान पर किसी और व्यक्ति को शामिल कर लिया जाता है

ये प्रश्न भी पहले वाले सूत्र से किया जा सकता है

= 120 + 4 x 3

= 132 किलोग्राम

3 . यदि कोई व्यक्ति किसी निश्चित दूरी को X कि0 मी0/ घंटा की रफ्तार से तथा उसी दूरी को Y किलोमीटर/घंटा की रफ्तार से तय करे तो उसकी औसत चाल क्या होगी ?

इसका सरलतम सूत्र है

= 2xy

x+yऔर यदि वह तीन विभिन्न चालों से चले(xyz)
तो सूत्र होगा

= 3 xyz
xy+yz+zx

4. तीन लडकों की औसत आयु 15 वर्ष है यदि उनकी आयु 3:5:7 के अनुपात में है, सबसे छोटे लडके की आयु क्या होगी ? (SSC CGL 2014)
हल:
तीनों लडकों की कुल आयु होगी = 15 x 3 = 45 वर्ष
अब 45 वर्ष को 3 :5 : 7 के अनुपात में विभाजित कर लीजिये आपका उत्तर आ जायेगा

= 45
3+5+7

= 45
15

= 3

अब क्युंकि सबसे छोटे लडके की आयु पूछी गयी है इसलिये इसे सबसे छोटे वाले अनुपात से गुणा करेंगे

= 3 x 3 = 9 वर्ष

5. एक कक्षा के 40 छात्रों द्वारा प्राप्त अंको का औसत 86 है यदि 5 सर्वाधिक अंको को निकाल दिया जाये तो औसत एक अंक कम हो जाता है शीर्ष 5 छात्रों के औसत अंक बताइये (SSC CGL 2014)

हल:

सबसे पहले हम अभी अंको का योग निकालेंगे

= 86 x 40 = 3440

अब जो योग उन पाँच अंको को निकालने के बाद बनेगा वह है

= 35 x 85 = 2975

दोनों का अंतर = 3440 – 2975 = 465

ये है उन पाँच अंको का योग, अब इसका औसत निकालेंगे

= 465
5

= 93 उत्तर

6. चार बहनों की औसत आयु 7 वर्ष है यदि माँ की आयु शामिल कर दी जाये तो औसत आयु 6 वर्ष बढ जाती है तो माँ की आयु होगी (SSC CGL 2014)

हल:
सबसे पहले 4 बहनों की कुल आयु = 7 x 4 = 28

अब जब माँ की आयु शामिल कर ली जाती है तो औसत हो जाता है= 13

तथा कुल लोग = 4 बहन + माँ = 5

इसलिये कुल आयु = 13 x 5 = 65

अत: माँ की आयु = 65- 28 = 37 वर्ष

Short Trick से –

= नया औसत + सदस्यों की पुरानी संख्या x औसत में वृध्दि

= 13 + 4 x 6

= 37 वर्ष

7. किक्रेट के एक खिलाडी का 10 पारियों का कुछ औसत था 11 वीं पारी में उसने 108 रन बनाये तथा इससे उसकी औसत रन संख्या में 6 की बृध्दि हो गई अब उनकी औसत रन संख्या कितनी है

हल-
n वी पारी = 11

बनाये रन= 108

औसत में बृध्दि= 6

अभीष्ट औसत रन संख्या=आखिरी पारी n में बनाये रन -(n-1) x औसत में बृध्दि

=108 – (11-1) x 6

=108-60

= 48 रन

8. एक किक्रेट मैच में 6 खिलाडीयों की औसत रन संख्या 36 थी यदि इनमें से एक खिलाडी ने 16 रन बनाये हो, तो शेष खिलाडीयों की औसत रन संख्या कितना है

हल:

कुल रन = 36 x 6 = 216

इनमें से एक खिलाडी ने 16 रन बनाये हैं उन्हें घटा देते हैं

= 216- 16

= 200

अत: शेष खिलाडियों का औसत

= 200/5 = 40 उत्तर

औसत (AVERAGE)

किसी दी गई राशियों का औसत प्राप्त करने के लिए उन समस्त राशियों के योग में राशियों की संख्या से भाग देते हैं।

अतः औसत

उदाहरण : संख्याएँ 3, 5 और 7 का औसत होगा

 

 

 1 से 19 तक की संख्याओं का औसत क्या होगा-

इसका सीधा सा सूत्र है-   =   n+1

                                           2

= ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌    19+1   =10

          2

2.  प्रथम 5 सम संख्याओं का औसत निकालो

सूत्र= (n+1)= 5+1= 6

i. परन्तु यदि दिया होता कि विषम संख्याओं का औसत निकालो

तब उत्तर होता = n =5

3. एक प्रकार का प्रश्न होता है जिसमें संख्याओं में बराबर अंतर होता है जिसे क्रमागत संख्याओं की सीरीज़ कहा जाता है, उनका औसत पूछा जाता है

जैसे- 5, 8, 11, 14, 17………47   का औसत निकालो,

इसका औसत निकालने के लिये बडा आसान सा सूत्र है, इसे याद कर लीजिये

=  प्रथम संख्या + अंतिम संख्या 

                       2

=   47+5

        2

=    26  उत्तर

. इसी प्रकार जो प्रश्न पूछे जाते हैं यहाँ सभी के सूत्र उपलब्ध कराये जा रहे हैं उसके बाद हम दूसरे प्रकार के प्रश्न देखेंगे

a.  1 से लेकर n तक सम संख्याओं का औसत

 = अंतिम सम संख्या + 2

                  2

* यदि अंतिम संख्या सम है,

परंतु यदि विषम है

तो = अंतिम संख्या + 1

                 2एक और प्रकार से आप कर सकते हैं यदि अंतिम संख्या विषम दी हो तो उससे ठीक पहले वाली सम संख्या को ही अंतिम सम संख्या माना जाता है, जैसे यदि अंतिम संख्या 45 दी है तो अंतिम सम संख्या 44 होगी, और औसत 23 होगा,

b. 1 से लेकर n तक विषम संख्याओं का औसत

इस तरह के प्रश्नों में हमें सिर्फ ये ज्ञात करना होता है कि 1 से लेकर n तक विषम संख्याओं की संख्या कितनी है और जैसा कि आप जानते हैं कि विषम संख्याओं का औसत ऐसी स्थिति में उनकी संख्या ही होती है

जैसे- 1 से 9 तक की विषम संख्याओं का औसत निकालो – या – 1 से 10 तक की संख्याओं का औसत निकालो

पहली स्थिति में हमें (9+1) में 2 से भाग देना है और उत्तर आ जायेगा और दूसरी स्थिति में हमें बस 10 को 2 से विभाजित करना है, क्योंकि आधी संख्यायें सम और आधी विषम होती हैं

c. प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत-

= (n+1)(2n+1)

           6
(जहाँ  “n” अंतिम संख्या है‌)

d. प्रथम प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत=  n(n+1)2

                                                                                      4
(जहाँ  “n” अंतिम संख्या है‌)

अब देखते हैं दूसरे प्रकार के प्रश्न –

1. किसी कक्षा के 30 छात्रों की औसत आयु 14 वर्ष है, यदि एक अध्यापक की भी आयु शामिल कर ली जाये तो औसत आयु 15 वर्ष हो जाती है अध्यापक की आयु ज्ञात कीजिये

इसके लिये एक सामान्य सा सूत्र है और आप इसे बिना सूत्र के मौखिक भी निकाल सकते हैं वो बाद में जानेंगे पहले सूत्र

= नया औसत + सदस्यों की पुरानी संख्या x औसत में वृध्दि

= 15 + 30 x 1
= 45

2. चार व्यक्तियों का औसत वज़न 3 किलोग्राम बढ जाता है यदि 120 किलोग्राम वज़न वाले व्यक्ति के स्थान पर किसी और व्यक्ति को शामिल कर लिया जाता है

ये प्रश्न भी पहले वाले सूत्र से किया जा सकता है

= 120 + 4 x 3

= 132  किलोग्राम

3 . यदि कोई व्यक्ति किसी निश्चित दूरी को X कि0 मी0/ घंटा की रफ्तार से तथा उसी दूरी को Y किलोमीटर/घंटा की रफ्तार से तय करे तो उसकी औसत चाल क्या होगी ?

इसका सरलतम सूत्र है

= 2xy

    x+yऔर यदि वह तीन विभिन्न चालों से चले(xyz)

तो सूत्र होगा

=    3 xyz
xy+yz+zx

4. तीन लडकों की औसत आयु 15 वर्ष है यदि उनकी आयु 3:5:7 के अनुपात में है, सबसे छोटे लडके की आयु क्या होगी ?  (SSC CGL 2014)
हल:
तीनों लडकों की कुल आयु होगी = 15 x 3 = 45 वर्ष
अब 45 वर्ष को 3 :5 : 7 के अनुपात में विभाजित कर लीजिये आपका उत्तर आ जायेगा

=   45
3+5+7

=  45
15

= 3

अब क्युंकि सबसे छोटे लडके की आयु पूछी गयी है इसलिये इसे सबसे छोटे वाले अनुपात से गुणा करेंगे

= 3 x 3 = 9 वर्ष

5. एक कक्षा के 40 छात्रों द्वारा प्राप्त अंको का औसत 86  है यदि 5 सर्वाधिक अंको को निकाल दिया जाये तो औसत एक अंक कम हो जाता है शीर्ष 5 छात्रों के औसत अंक बताइये (SSC CGL  2014)

हल:

सबसे पहले हम अभी अंको का योग निकालेंगे

= 86 x 40 = 3440

अब जो योग उन पाँच अंको को निकालने के बाद बनेगा वह है

= 35 x 85 = 2975

दोनों का अंतर = 3440 – 2975 = 465

ये है उन पाँच अंको का योग, अब इसका औसत निकालेंगे

= 465
5

= 93  उत्तर

6. चार बहनों की औसत आयु 7 वर्ष है यदि माँ की आयु शामिल कर दी जाये तो औसत आयु 6 वर्ष बढ जाती है तो माँ की आयु होगी  (SSC CGL 2014)

हल:
सबसे पहले 4 बहनों की कुल आयु = 7 x 4 = 28

अब जब माँ की आयु शामिल कर ली जाती है तो औसत हो जाता है= 13

तथा कुल लोग = 4 बहन + माँ = 5

इसलिये कुल आयु = 13 x 5 = 65

अत: माँ की आयु = 65- 28 = 37 वर्ष

Short Trick से –

= नया औसत + सदस्यों की पुरानी संख्या x औसत में वृध्दि

= 13 + 4 x 6

= 37  वर्ष

• गणित के सभी अध्याय एवं शॉर्ट ट्रिक्स पढें

7. किक्रेट के एक खिलाडी का 10 पारियों का कुछ औसत था 11 वीं पारी में उसने 108 रन बनाये तथा इससे उसकी औसत रन संख्या में 6 की बृध्दि हो गई अब उनकी औसत रन संख्या कितनी है

हल-
n वी पारी = 11

बनाये रन= 108

औसत में बृध्दि= 6

अभीष्ट औसत रन संख्या=आखिरी पारी n में बनाये रन -(n-1) x औसत में बृध्दि

=108 – (11-1) x 6

=108-60

= 48  रन

 

 

एक किक्रेट मैच में 6 खिलाडीयों की औसत रन संख्या 36 थी यदि इनमें से एक खिलाडी ने 16 रन बनाये हो, तो शेष खिलाडीयों की औसत रन संख्या कितना है

हल:

कुल रन = 36 x 6 = 216

इनमें से एक खिलाडी ने 16 रन बनाये हैं उन्हें घटा देते हैं

= 216- 16

= 200

अत: शेष खिलाडियों का औसत

= 200/5 = 40   उत्तर